歐幾里得的《幾何原本》為幾何學奠下了基礎，但隨著數學不斷的發展，數學家對《幾何原本》再嚴謹審視下，便發現當中不完備之處，例如：「點是沒有部分的」中，甚麼叫「部分」？「直線是它上面的點一樣的平放著的線」中，甚麼叫「平放」？當然還有最受爭議的第五公設（平行公設）。這些問題困擾著數學家多年，他們希望可將《幾何原本》的定義、公設和公理加以改善，但因為幾何學有堅實的基礎，且有不少互相關連的分支，如：雙曲幾何、球面幾何、射影幾何等等，更便數學家不可只關心個別的公理或定義，而必須提供一整套關於概念和公理、定理的嚴密的系統，那是一件極艱鉅的工作。

　　雖然如此，但也有不少的數學家作出了貢獻，當中希爾伯特所著的《幾何基礎》（Grundlagen der Geometrie）便是集大成之作。《幾何基礎》的第一版於1899年出版，後來經多次的修改，目前一般引用1930年出版的第七版。希爾伯特在這書中對歐幾里得幾何及有關幾何的公理系統進行了深入的研究。他不僅對歐幾里得幾何提供了完善的公理體系，還給出證明一個公理對別的公理的獨立性以及一個公理體系確實為完備的普遍原則。

　　他把幾何進一步公理化，首先他敘述一些不加定義基本概念，設想有三組不同的東西，分別叫點、直線和平面，統稱為「幾何元素」，而它們之間的關係須滿足一定的公理要求，則稱這些幾何元素的集合為「幾何空間」。這樣，不同的幾何便是滿足不同公理要求的幾何元素的集合，亦因此把幾何裡那些與感性的感覺有關的東西去掉，只保留抽象的邏輯骨架，不但不會喪失現實的基礎，反而擴大了幾何命題的範圍。

　　他把歐幾里得幾何化為下列的五組共二十條公理的體系：

而這五組的公理也滿足了公理體系的三個基本要求，即相容性、獨立性和完備性。如果把這五組的公理稍作增減，便得出其他不同的幾何空間，例如把平行公理中的歐幾里得平行公理換為羅巴切夫斯基平行公理，那便把「歐幾里得空間」換為「羅巴切夫斯基空間」。另外，滿足前四組公理的幾何，我們稱之為「絕對幾何」（Absolute Geometry）。

　　希爾伯特的《幾何基礎》把幾何學引進了一個更抽象的公理化系統，把幾何重新定義，不但把傳統的歐幾里得的《幾何原本》改良，更把幾何學從一種具體的特定模型上升為抽象的普遍理論。

參考：《幾何基礎》的五組二十條公理