幾何基礎
 
幾何基礎的五組二十條公理
第一組──接合公理
I1 通過任意給定的兩點有一直線。
I2 通過任意給定的兩點至多有一直線。
I3 每一直線上至少有兩點；至少有三點不同在直線上。
I4 通過任意給定的不共線三點有一平面；每一平面上至少有一點。
I5 至多有一平面通過任意給定的不共線三點。
I6 若直線a的兩點A，B在平面α上，則a上所有點都在α上，這時直線a稱為在平面α上，或平面α通過或含有a。
I7 若兩平面有一公共點，則至少還有一公共點。
I8 至少有四點不同在一平面上。

第二組──順序公理
II1 若點B介於兩點A，C之間，則A，B，C是一直線上的互異點，且B也介於C，A之間。
II2 對於任意兩點A，B，直線AB上至少有一點C存在，使B介於A，C之間。
II3 在共線三點中，一點介於其它兩點間的情況不多於一次。
II4 設A，B，C是不共線的三點，a是平面ABC上不通過A，B，C中任一點的一直線，則若a有一點介於A，B之間那末它必還有一點介於A，C之間或介於B，C之間。

第三組──合同公理
III1 設A，B為一直線a上兩點，A'為同一或另一直線a'上的點，則在a'上點A'的給定一測有一且只一點B'使線段AB合同於或等於線段A'B'：AB=A'B'，並且對於每一線段，要求AB=BA。
III2

設線段A'B'=AB，A''B''=AB，則也有A'B'=A''B''。
III3 設AB和BC是直線a上沒有公共內點的兩線段，而A'B'和B'C'是同一或另一直線a'上的兩線段，也沒有公共內點，如果這時有AB=A'B'，BC=B'C'，則也有AC=A'C'。
III4 在平面α上給定∠(h,k)，在同一或另一平面α'上給定直線a'，而且在平面α'的一側。設h'是直線a'上以一點O'為原點的射線。那末在平面α'上直線a'的指定一側，有一條且只有一條以O'為原點的射線k'使∠(h,k)=∠(h',k')。每個角都要求與自身合同，即∠(h,k)=∠(h,k)以及∠(h,k)=∠(h,k)。即是說：每個角可以唯一地放在給定平面上給定射線的給定一側。
III5 設A，B，C是不共線三點，而A'，B'，C'也是不共線三點，如果AB=A'B'，AC=A'C'，∠BAC=∠B'A'C'，那末也就有∠ABC=∠A'B'C'，∠ACB=∠A'C'B'。

第四組──連續公理
IV1 （阿基米德公理）設AB和CD是任三線段，那末在直線AB上存在著有限個點A1，A2，…，An，排成這樣：A1介於A和A2之間，A2介於A2和A3之間，以下類推，並且線段AA1，A1A2，…，An-1An都合同於線段CD，而且B介於A和An之間。
IV2 （康托公理）設在一直線ａ上有由線段組成的一個無窮序列A1B1，A2B2，…，其中在後的每一線段都被包含在前一個內部，並且任意給定一線段，總有一足碼n使線段AnBn比它小。那末在直線ａ上存在一點Ｘ落在每個線段A1B1，A2B2，…的內部。

第五組──平行公理
V 通過直線外一點至多可引一直線平行於該直線。

參考：《幾何基礎》

以上資料摘自：
1. 蔣聲著，《歐幾里得第五公設》，九章出版社，台灣，1993。
2. 朱德祥編，《高等幾何》，高等教育出版社，北京，2000。