牟合方蓋
 

　　所謂「牟合方蓋」是當一正立方體用圓規從縱橫兩側面作內切圓柱體時，兩圓柱體的公共部分。劉徽在他的注中對「牟合方蓋」有以下的描述：

　　「取立方棊八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸。規之為圓囷，徑二寸，高二寸。又復橫規之，則其形有似牟合方蓋矣。八棊皆似陽馬，圓然也。按合蓋者，方率也。丸其中，即圓率也。」

　　其實劉徽是希望構作一個立體圖形，它的每一個橫切面皆是正方形，而且會外接於球體在同一高度的橫切面的圓形，而這個圖形就是「牟合方蓋」，因為劉徽只知道一個圓及它的外接正方形的面積比為π：4，他希望可以用「牟合方蓋」來證實《九章算術》的公式有錯誤。當然他也希望由這方面入手求球體體積的正確公式，因為他知道「牟合方蓋」的體積跟內接球體體積的比為4：3，只要有方法找出「牟合方蓋」的體積便可，可惜，劉徽始終不能解決，他只可以指出解決方法是計算出「外棊」的體積，但由於「外棊」的形狀複雜，所以沒有成功，無奈地只好留待有能之士圖謀解決的方法：

　　「觀立方之內，合蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩。判合總結，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正。欲陋形措意，懼失正理。敢不闕疑，以俟能言者。」

祖沖之

　　而賢能之士要在劉徽後二百多年才出現，便是中國偉大數學家袓沖之及他的兒子祖暅，他們承襲了劉徽的想法，利用「牟合方蓋」徹底地解決了球體體積公式的問題。
   
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參考書目：
1. 李儼、杜石然著，《中國古代數學簡史》，九章出版社，台灣，1992。
2. 李繼閔著，《〈九章算術〉及其劉徽注研究》，九章出版社，台灣，1992。
3. 潘有發著，《趣味歌詞古體算題選》，九章出版社，台灣，1995。