牟合方蓋
 

　　祖沖之父子主要是發現到三個「外棊」的計算方法。他們先考慮一個由八個邊長為r的正立方體組成的大正立方體，然後用製作「牟合方蓋」的方法把這大正立方體分割，再取其中一個小正立方體部分作分析，分割的結果將跟右圖所示的相同，白色部分稱為「小牟合方蓋」，它的體積為「牟合方蓋」的八分之一，而紫紅、黃和青色的部分便是三個「外棊」。

　　祖沖之父子考慮這個小立方體的橫切面。設由小立方體的底至橫切面高度為h，三個「外棊」的橫切面面積的總和為S及小牟合方蓋的橫切面邊長為a，因此根據「勾股定理」有

a2＝r2-h2
另外，因為
S＝r2-a2
所以
S＝r2-(r2-h2)＝h2

於所有的h來說，這個結果也是不變的。祖氏父子便由此出發，他們取一個底方每邊之長和高都等於r的方錐，倒過來立著，與三個「外棊」的體積的和進行比較。設由方錐頂點至方錐截面的高度為h，不難發現對於任何的h，方錐截面面積也必為h2。換句話說，雖然方錐跟三個「外棊」的形狀不同，但因它們的體積都可以用截面面積和高度來計算，而在等高處的截面面積總是相等的，所以它們的體積也就不能不是相等的了，所以祖氏云：

「緣冪勢既同，則積不容異。」

所以

外棊體積之和＝方錐體積＝小立方體體積/3＝r3/3
即
小牟合方蓋體積＝ 2r3/3
　牟合方蓋體積＝16r3/3
因此
球體體積＝(π/4)(16r3/3)＝4πr3/3

這條公式也就是正正式式的球體體積公式。

卡瓦列利

　　這球體體積公式比歐洲阿基米德的，雖然是遲了出現，但由方法以至推導也是由劉徽及祖氏父子自行創出，也可算是一項傑出的成就。當中用了「緣冪勢既同，則積不容異。」即「等高處截面面積相等，則二立體的體積相等。」的定理，現在一般認為是由意大利數學家卡瓦列利（Cavalieri）首先引用，稱為卡瓦列利原理（Principle of Cavalieri），但事實上祖氏父子比他早一千年就用到這個原理，所以稱之為「祖氏原理」可能會較適合。
   
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參考書目：
1. 李儼、杜石然著，《中國古代數學簡史》，九章出版社，台灣，1992。
2. 李繼閔著，《〈九章算術〉及其劉徽注研究》，九章出版社，台灣，1992。
3. 潘有發著，《趣味歌詞古體算題選》，九章出版社，台灣，1995。