中國剩餘定理
 

  金庸先生的《射雕英雄傳》暢銷全球的華人社區,很多人也知道郭靖和黃蓉的故事,但原來在《射雕英雄傳》內也有有關數學的名題同時隨小說傳至全球的華人社區,這便是「孫子定理」或稱「鬼谷算」、「隔棳漶v、「剪管術」、「秦王暗點兵」或「韓信點兵」,但當今數學界則稱之為「中國剩餘定理」(Chinese Remainder Theorem)。

  話說郭靖和黃蓉在離開泥沼時,黃蓉下了三道題目挑戰號稱「神算子」的瑛姑,當中的第三道題目,便是這著名的「鬼谷算」:「今有物不知其數,三三數之賸二;五五數之賸三,七七數之賸二。問物幾何?」(摘自《孫子算經》卷下,第26題)如果用白話寫出,意思是:現在一個未知數,除3時,餘數是2;除5時,餘數是3;除7時,餘數是2,問這個未知數的最小值?這道題目如此簡單,何以會是名題呢?

華羅庚

  事實上,《射雕英雄傳》堛熒諰h不難便得出答案是23;而中國著名數學家華羅庚教授,對這道題目有以下的說法:「求一個數,3除餘2,5除餘3,7除餘2。這個問題太容易回答了,因為3除餘2,5除餘3,7除餘2,則21除餘2。而23是3、7餘2最小的數,剛好又是5除餘3的數。所以心算快的人都算出!」(摘自《華羅庚科普著作選集》第84頁)

  正如華羅庚教授所說,重點並不是計算出23這個結果,數學便是不僅於此。瑛姑雖然得到答案,但她也得向黃蓉請教,因為瑛姑的答案是硬生生地試出來的,她明白倘若餘數有變的話,她便可能要再花一段時間來試答案了,她找不到計算這一道題目的門徑,或者說她找不到解這道題的普遍方法;而數學的研究便是希望找到這道題的特質,作出普遍化的解法。你又可知道這道名題的普遍解嗎?

  很多中國的名事蹟或名題,在民間都有歌謠,有的唱出一個故事,有的唱出這些名題的解法。而這「鬼谷算」也不例外,而且還有幾個不同版本,以下是其中兩個:

三歲孩兒七十稀,
五留廿一事尤奇,
七度上元重相會,
寒食清明便可知。
摘自《志雅堂雜鈔》
三人同行七十稀,
五樹梅花廿一枝,
七子團圓正月半,
除百零五便得知。
摘自《算法統宗》卷四

  其實兩者的意思是相同的,「上元」和「月半」都是代表15;而「寒食」是指清明前一日,由冬至到清明共106日,因此由冬至到寒食便是105的意思。而這些解的意思是說,用70乘3除所得的餘數,用21乘5除所得的餘數,用15乘7除所得的餘數,然後再加起來。如果其和大於105,則減去105,直至小於105為止,最後這個數便是答案。以「鬼谷算」中的餘數為例:

2x70+3x21+2x15-105-105=23

讀者不妨可以嘗試用不同的餘數來驗證這個解,你會發現這個方法果真是妙不可言。到了此處,問題有兩個,(一)如何推出這個結果?(二)如果除數改變了,或有更多的餘數時又如何?簡而言之,可以把這個方法推廣嗎?

   
  下一章



參考書目:
1. 傅珊編著,《數學典故名題趣解》,旅游教育出版社,北京,1990。
2. 李儼、杜石然著,《中個古代數學簡史》,九章出版社,台灣,1992。
3. 談祥柏編著,《數:上帝的寵物》,上海教育出版社,上海,1996。
4. 李學數著,《數學和數學家的故事 第二集》,廣角鏡出版社,香港,1979。