希爾伯特二十三個問題
 

  在一九零零年年巴黎國際數學家代表大會上,希爾伯特發表了《數學問題》的著名演講。他根據過去十九世紀數學研究的成果和發展趨勢,提出了二十三個最重要的數學問題。這二十三個問題現稱為「希爾伯特問題」(Hilbert's Problems),對現代數學的研究和發展產生了深刻及指導性的影響。

  希爾伯特的問題可分為四大類:第1到第6問題是數學基礎問題;第7到第12問題是數論問題;第13到第18問題屬於代數和幾何問題;第19到第23問題屬於數學分析。這些問題中有些已得到圓滿解決,有些至仍未解決,以下是這些問題和研究進展的簡表:

編號 問題 推動發展的領域 解決情況
1. 連續統假設 公理化集合論 1874年,康托猜測在可數集基數和實數基數之間沒有別的基數,即著名的連續統假設。1938年,奧地利數學家哥德爾證明連續統假設和ZFS公理系統的無矛盾性。1963年,美國數學家科恩證明了連續統假設與ZFS公理彼此獨立。因此,連續統假設不能用世所公認的ZFS公理證明其對或錯。
2. 算術的無矛盾性 數學基礎 歐氏幾何的無矛盾性可歸納為算術公理的無矛盾性。希爾伯特提出用形式主義的證明論方法加以解決。但1931年哥德爾的"不完備定理"加以否定。1936年根茨用超限歸納法證明了算術公理的無矛盾性。而數學的相容性問題至今未解決。
3. 兩等高底的四面體體積相等問題 幾何基礎 1900年,由希爾伯特的學生德恩解決。
4. 兩點以直線為最短距離問題 幾何基礎 此問題過於一般。1973年,蘇聯數學家波格列洛夫宣布,在對稱情形下,問題獲得解決。
5. 不給所定義群的函數作可微性假設的李氏概念 拓撲群論 這個問題簡稱連續群的解析性,即是否每一個局部歐氏群都一定是李群?經過一般漫長的時期後,於1952年由格利森、蒙哥馬利及齊賓共同解決,答案是肯定的。
6. 物理學的公理化 數學物理 希爾伯特建議用數學的公理化方法推演出全部物理。1933年,柯爾莫哥洛夫將概率論公理化。在量子力學、熱力學等部門,公理化已獲很大成功。但是,物理學是否能全盤公理化,這工作至今沒有完成。
7. 某些數的無理性與超越性 超越數論 問題要求證明:若α是代數數,β是無理數的代數數,則α的β次方一定是超越數或至少是個無理數。1934年,蘇聯數學家蓋爾封特和德國數學家施奈爾德各自獨立地解決了這一問題。1966年後,又被英國數學家貝克等人大大地推廣和發展。
8. 質數分布問題 數論 這問題包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生質數猜想。一般情形下的黎曼猜想仍然是個猜想。而後兩個問題亦還未得到最終解決,中國數學家陳景潤在後兩個問題上取得領先地位。
9. 任意數域中的最一般的互反律的證明 類域論 該問題已由德國數學家阿丁於1927年解決,但類域論至今仍在蓬勃發展。
10. 丟番圖方程的可解性判別 不定分析 求出一個整係數方程的整數根,稱為丟番圖方程可解。希爾伯特問:是否能用有限步構成的一般算法判斷一個丟番圖方程的可解?1970年,蘇聯數學家馬蒂塞維奇在美國數學家戴維斯、普特南、羅賓遜工作基礎上證明了希爾伯特所期望的一般算法不能實現。
11. 係數為任意代數數的二次型 二次型理論 德國數學家哈塞和西格爾分別在20年代和30年代獲得重要結果。60年代,法國數學家魏依取得了新的重要進展。
12. 阿貝爾域上克羅內克定理推廣到任意代數有理域上 複乘法理論 這問題只有些零碎的結果,離解決還有很長一段距離。
13. 用兩個變量解一般的七次方程的不可能性 方程論和實函數理論 七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴於三個參數a、b、c;x=(a,b,c)是否能用兩個變量的函數表示出來?1957年,蘇聯數學家阿諾爾德解決了連續情形。1964年,他的同胞維土斯金又推廣到連續可微情形。如要求是解析函數,則問題仍未解決。
14. 證明某類完全函數系的有限性 代數不變量理論 1958年,日本數學家水田雅宜給出了反例,證明了存在群Γ,其不變式所構成的環不具有有限個整基。
15. 舒伯特計數演算的嚴格基礎 代數幾何學 一個典型問題是:在三維空間中有四條直線,問有幾條直線和這四條直線都相交?舒伯特給出了直觀解法。希爾伯特則將問題一般化,並要求給以嚴格基礎。經過許多數學家的努力,舒伯特演算基礎的純代數化處理已有可能,但舒伯特演算的合理性仍待解決。
16. 代數曲線和代數曲面的拓撲 曲線和曲面的拓撲學及常微方程定性理論 這問題分兩部分。第一部分涉及代數曲線含有封閉分枝曲線的最大個數。第二部分涉及常微分方程dy/dx=Y/X的極限環的最大數目和相對位置,其中X、Y是x、y的n次多項式。蘇聯數學家彼德羅夫斯基堪稱n=2的極限環不超過三個。1979年,中國數學家史松齡和王明淑分別出了四個極限環的反例。
17. 半正定形式的平方和表示 域論 一個實數n元多項式對一切數組都琱j於或等於零,是否能寫成平方和的形式?1927年,已由阿丁解決。
18. 由全等多面體構造空間 結晶體群理論 問題由兩部分組成。第一部分歐氏空間僅有有限個不同類的帶基本區域的運動群。第二部分包括是否存在不是運動群的基本區域但經適當毗連可充滿全空間的多面體?第一部分已由德國數學家比勃巴赫作出肯定的回答。第二部分,德國數學家萊因哈特作出部分解決。
19. 正則變分問題的解是否一定解析 橢圓型微分方程理論 這問題在下述意義下已獲解決:1904年,蘇聯數學家伯恩斯坦證明了一個兩個變元的、解析的非線性橢圓型方程,其解必定是解析的。這個結果,後來又被伯恩斯坦和彼德羅夫斯基等推廣到多變元和橢圓組情形。
20. 一般邊值問題 橢圓型微分方程理論 偏微方程邊值問題的研究正處於方興未艾,蓬勃發展階段。
21. 具有給定單值群的線性微分方程的存在性證明 線性常微分方程大範圍理論 此問題已在1905年希爾伯特、1957年勒爾及1970年比利時數學家德林的工作中,已得到解決。
22. 由自守函數構成的解析函數單值化 黎曼曲面理論 一個變數的情形,已於1907年由德國數學家克伯解決。其他方面尚未解決。
23. 變分方法的進一步發展 變分法 希爾伯特本人和其他數學家都作出了重要的貢獻。20世紀變分法已有了很大的進展。



以上資料摘自:
1. 樓世拓和鄔冬華著,《黎曼猜想》,九章出版社,台灣,1993。