要證明選擇公理，並非一件容易的事，其中一個原因是選擇公理不單是一條簡單的數學命題，而是牽涉較基層的數學──集合論。而集合論正就是數學的基礎理論，所以在證明時，工具也會較少。

　　不少的數學家曾也嘗試證明選擇公理，他們希望用最基本的工具來作證明，但往往在這些證明中，都用了一些並不基本的理論，例如：「良序原理」（Well-ordering Principle）及「佐恩引理」（Zorn's Lemma），

這些理論，即使只是從字面的解釋，也不容易判斷它的真確性，而事實上，「良序原理」及「佐恩引理」是不能用基本工具證明的。直至現時為此，也沒有人能用基本工具來證明「選擇公理」。

　　更有趣的結果是原來「選擇公理」、「良序原理」及「佐恩引理」都是等價的命題，也就是說它們是在描述同一樣的事件。多年以來，所發現的「選擇公理」的等價命題實在不少，網主並沒有統計過，某些的書籍可寫出約30個等價命題，網主亦搜集了部分等價命題（英文版）可供網友參考，而人類只是在這些命題與命題間兜兜轉轉。

　　由此可知，要在數學上證明或否證「選擇公理」並非易事，所以數學家便轉移目標，從邏輯系統中看看它的相容性。而事實上，經證明所得，現在我們常用的ZF公理系統與「選擇公理」是相容的，也就是說用ZF公理系統不能得出「選擇公理」的邏輯矛盾。如果我們選擇接納「選擇公理」，則便有一套包含「選擇公理」的公理系統，一般稱「ZFC公理系統」；否則，便不接納它在公理系統之內，在能把它證明之前，也不能接受它是一「定理」。

　　不過，這個爭論依然未完，因為對於這條公理不只是接納和不接納的問題，如果放棄這條公理，有很多美好且乎合「常理」的結果會同時被放棄；但它實際上又與很多「常理」大不協調。