孫子算經
 
卷下
1. 今有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬九家共翰租。甲出三十五斛，乙出四十六斛，丙出五十七斛，丁出六十八斛，戊出七十九斛，己出八十斛，庚出一百斛，辛出二百一十斛，壬出三百二十五斛。凡九家共翰租一千斛。僦運直折二百斛外，問家各幾何？
答曰：甲二十八斛。乙三十六斛八蚪。丙四十五斛六蚪。丁五十四斛四蚪。戊六十三斛二蚪。己六十四斛。庚八十斛。辛一百六十八斛。壬二百六十斛。
術曰：置甲出三十五斛，以四乘之，得一百四十斛。以五除之，得二十八斛。乙出四十六斛，以四乘之，得一百八十四斛。以五除之，得三十六斛八蚪。丙出五十七斛，以四乘之，得二百二十八斛。以五除之，得四十五斛六蚪。丁出六十八斛，以四乘之，得二百七十二斛。以五除之，得五十四斛四斟。戊出七十九斛，以四乘之，得三百一十六斛。以五除之，得六十三斛二斟。己出八十斛，以四乘之，得三百二十斛。以五除之，得六十四斛。庚出一百斛，以四乘之，得四百斛。以五除之，得八十斛。辛出二百一十斛，以四乘之，得八百四十斛。以五除之，得一百六十八斛。壬出三百二十五斛，以四乘之，得一千三百斛。以五除之，得二百六十斛。
2. 今有丁一千五百萬，出兵四十萬。問幾丁科一兵？
答曰：三十七丁五分。
術曰：置丁一千五百萬，為實。以兵四十萬為法。實如法，即得。
3. 今有平地聚粟，下周三丈六尺，高四尺五寸。問粟幾何？
答曰：一百斛。
術曰：置周三丈六尺，自相乘，得一千二百九十六尺。以高四尺五寸乘之，得五千八百三十二尺。以三十六除之，得一百六十二尺。以斛法一尺六寸二分除之，即得。
4. 今有佛書凡二十九章，章六十三字。問字幾何？
答曰：一千八百二十七。
術曰：置二十九章，以六十三字乘之，即得。
5. 今有棊局方一十九道。問用棊幾何？
答曰：三百六十一。
術曰：置一十九道，自相乘之，即得。
6. 今有租九萬八千七百六十二斛，欲以一車載五十斛，問用車幾何？
答曰：一千九百七十五乘，奇一十二斛。
術曰：置租九萬八千七百六十二斛，為實。以一車所載五十斛為法。實如法，即得。
7. 今有丁九萬八千七百六十六，凡二十五丁出一兵。問兵幾何？
答曰：三千九百五十人，奇一十六丁。
術曰：置丁九萬八千七百六十六，為實。以二十五為法。實如法，即得。
8. 今有絹七萬八千七百三十二匹，令一百六十二人分之。問人得幾何？
答曰：四百八十六匹。
術曰：置絹七萬八千七百三十二匹，為實。以一百六十二人為法。實如法，即得。
9. 今有三萬六千四百五十四戶④，戶輸綿二斤八兩。問計幾何？
答曰：九萬一千一百三十五斤。
術曰：置三萬六千四百五十四戶，上十之，得三十六萬四千五百四十。以四乘之，得一百四十五萬八千一百六十兩。以十六除之，即得。
10. 今有綿九萬一千一百三十五斤，給與三萬六千四百五十四戶。問戶得幾何？
答曰：二斤八兩。
術曰：置九萬一千一百三十五斤，為實。以三萬六千四百五十四戶為法。除之，得二斤，不盡一萬八千二百二十七斤。以一十六乘之，得二十九萬一千六百三十二兩。以戶除之，即得。
11. 今有粟三千九百九十九斛九蚪六升，凡栗九蚪易豆一斛。問計豆幾何？
答曰：四千四百四十四斛四斟。
術曰：置粟三千九百九十九斛九斗六升，為實。以九斗為法。實如法。即得。
12. 今有粟二千三百七十四斛，斛加三升。問共粟幾何？
答曰：二千四百四十五斛二斗二升。
術曰：置粟二千三百七十四斛，以一斛三升乘之，即得。
13. 今有粟三十六萬九千九百八十斛七斗，在倉九年，年斛耗三升。問一年、九年各耗幾何？
答曰：一年耗一萬一千九十九斛四斗二升一合。九年耗九萬九千八百九十四斛七斗八升九合。
術曰：置三十六萬九千九百八十斛七斗，以三升乘之得一年之耗。又以九乘之，即九年之耗。
14. 今有貸與人絲五十七斤，限歲出息一十六斤。問斤息幾何？
答曰：四兩五十七分兩之二十八。
術曰：列限息絲一十六斤，以一十六兩乘之，得二百五十六兩。以貸絲五十七斤除之⑤。不盡，約之，即得。
15. 今有三人共車，二車空；二人共車，九人步。問人與車各幾何？
答曰：一十五車。三十九人。
術曰：置二車，以三乘之，得六。加步者九人，得車一十五。欲知人者，以二乘車，加九人，即得。
16. 今有粟一十二萬八千九百四十斛九斗三合，出與人買絹，一匹直粟三斛五斗七升。問絹幾何？
答曰：三萬六千一百一十七匹三丈六尺。
術曰：置粟一十二萬八千九百四十斛九斗三合，為實。以三斛五斗七升為法。除之，得匹。餘四十之，所得，又以法除之，即得。
17. 今有婦人河上蕩桮。津吏問曰：「桮何以多？」婦人曰：「家有客。」津吏曰：「客幾何？」婦人曰：「二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用栢六十五。不知客幾何？」
答曰：六十人。
術曰：置六十五桮，以一十二乘之，得七百八十，以十三除之，即得。
18. 今有木，不知長短。引繩度之，餘繩四尺五寸。屈繩量之，不足一尺。問木長幾何？
答曰：六尺五寸。
術曰：置餘繩四尺五寸，加不足一尺，共五尺五寸。倍之，得一丈一尺。減餘四尺五寸，即得。
19. 今有器中米，不知其數。前人取半，中人三分取一，後人四分取一，餘米一斗五升。問本米幾何？
答曰：六斗。
術曰：置餘米一斗五升，以六乘之，得九斗。以二除之，得四斗五升。以四乘之，得一斛八斗。以三除之，即得。
20. 今有黃金一斤，直錢一十萬。問兩直幾何？
答曰：六千二百五十錢。
術曰：置錢一十萬，以一十六兩除之，即得。
21. 今有錦一疋，直錢一萬八千。問丈、尺、寸各直幾何？
答曰：丈，四千五百錢。尺，四百五十錢。寸，四十五錢。
術曰：置錢一萬八千，以四除之得尺、寸之直。得一丈之直。一退、再退，得尺、寸之直。
22. 今有地長一千步，廣五百步。尺有鶉，寸有鷃。問鶉、鷃各幾何？
答曰：鶉一千八百萬。鷃一億八千萬。
術曰：置長一千步，以廣五百步乘之，得五十萬步。以三十六乘之，得一千八百萬尺，即得鶉數。上十之，即得鷄數。
23. 今有六萬口，上口三萬人，日食九升；中口二萬人，日食七升；下口一萬人，日食五升。問上、中、下口共食幾何？
答曰：四千六百斛。
術曰：各置口數，以日食之數乘之。所得，并之，即得。
24. 今有方物一束，外周一匝有三十二枚。問積幾何？
答曰：八十一枚。
術曰：重置二位。上位減八，餘加下位。至盡虛加一，即得。
25. 今有竿不知長短，度其影得一丈五尺。別立一表，長一尺五寸，影得五寸。問竿長幾何？
答曰：四丈五尺。
術曰：置竿影一丈五尺，以表長一尺五寸乘之，上十之，得二十二丈五尺。以表影五寸除之，即得。
26. 今有物，不知其數。三、三數之，賸二；五、五數之，賸三；七、七數之，賸二。問物幾何？
答曰：二十三。
術曰：「三、三數之，賸二」，置一百四十；「五、五數之，賸三」，置六十三；「七、七數之，賸二」，置三十。并之，得二百三十三。以二百一十減之，即得。凡三、三數之，賸一，則置七十；五，五數之，賸一，則置二十一；七、七數之，賸一，則置十五。一百六以上，以一百五減之，即得。
27. 今有獸六首四足，禽四首二足。上有七十六首，下有四十六足。問篱、獸各幾何？
答曰：八獸，七禽。
術曰：倍足以減首，餘，半之之，即禽。即獸。以四乘獸，減足，餘，半
28. 今有甲、乙二人，持錢各不知數。甲得乙中半，可滿四十八。乙得甲太半，亦滿四十八。問甲、乙二人元持錢各幾何？
答曰：甲持錢三十六。乙持錢二十四。
術曰：如方程求之。置二甲、一乙、錢九十六，於右方。置二甲、三乙、錢一百四十四，於左方。以右方二乘左方，上得四，中得六，下得二百八十八錢。以右行再減左行，左上空，中餘四乙，為法；下餘九十六錢，為實。上法，下實，得二十四錢，為乙錢。以減右下九十六，餘七十二，為實；以右上二甲為法。上法、下實，得三十六，為甲錢也。
29. 今有百鹿入城，家取一鹿，不盡；又三家共一鹿，適盡。問城中家幾何？
答曰：七十五家。
術曰：以盈不足取之。假令七十二家，鹿不盡四。令之九十家，鹿不足二十。置七十二於右上，盈四於右下。置九十於左上，不足二十於左下。為維乘之凹，所得，并為實。并盈不足為法。除之，即得。
30. 今有三雞共啄粟一千一粒。雛啄一，母啄粟。三雞主各償幾何？
答曰：雞雛主一百四十三。雞母主二百八十六。雞翁主五百七十二。，翁啄四。主責本
術曰：置粟一千一粒，為實。副并三雞所啄粟七粒，為法。除之，得一百四十三粒，為雞雛主所償之數。遞倍之，即得母、翁主所償之數。
31. 今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下九十四足。問雉、兔各幾何？
答曰：雉二十三。兔一十二。
術曰：上置三十五頭，下置九十四足。半其足，得四十七。以少減多，再命之，上三除下三，上五除下五。下有一除上一，下有二除上二，即得。
又術曰：上置頭，下置足。半其足，以頭除足，以足除頭，即得。
32. 今有九里渠，三寸魚，頭頭相次。問魚得幾何？
答曰：五萬四千。
術曰：置九里，以三百步乘之，得二千七百步。又以六尺乘之，得一萬六千二百尺。上十之，得一十六萬二千寸。以魚三寸除之，即得。
33. 今有長安、洛陽相去九百里。車輪一匝一丈八尺。欲自洛陽至長安，問輪匝幾何？
答曰：九萬匝。
術曰：置九百里，以三百步乘之，得二十七萬步。又以六尺乘之，得一百六十二萬尺。以車輪一丈八尺為法。除之，即得。
34. 今有出門望見九隄。隄有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色。問各幾何？
答曰：/木八十一。枝七百二十九。巢六千五百六十一。禽五萬九千四十九。雛五十三萬一千四百四十一。毛四百七十八萬二千九百六十九。色四千三百四萬六千七百二十一。
術曰：置九隄，以九乘之，得木之數。又以九乘之，得枝之數。又以九乘之，得巢之數。又以九乘之，得禽之數。又以九乘之，得雛之數。又以九乘之，得毛之敷。又以九乘之，得色之數。
35. 今有三女，長女五日一歸，中女四日一歸，少女三日一歸。問三女幾何日相會？
答曰：六十日。
術曰：置長女五日、中女四日、少女三日，於右方。各列一算於左方。維乘之，各得所到數：長女十二到，中女十五到，少女二十到。又各以歸日乘到數，即得。
36. 今有孕婦行年二十九，難九月。未知所生？
答曰：生男。
術曰：置四十九，加難月，減行年。所餘，以天除一，地除二，人除三，四時除四，五行除五，六律除六，七星除七，八風除八，九州除九。其不盡者，奇則為男，耦則為女。

參考：《孫子算經》

以上資料摘自：
1. 李儼、杜石然著，《中國古代數學簡史》，九章出版社，台灣，1992。
2. 郭書春、劉鈍點校，《算經十書》，九章出版社，台灣，2001。