第二次數學危機
 

「飛矢不動」的吊詭
古代的希臘是研究哲學的人聚集的地方,在云云的哲學學派之中,其中一派主張「存在是靜止的,不變的,永琲滿A變化與運動只是幻覺。」至於這個主張的理念,不是我們的討論範圍,不過,這個學派的學者之一──芝諾,為了論證運動是幻象,提出了「飛矢不動」的「理論」:箭在每一瞬間都要佔據一定的空間位置,即箭在每一瞬間存在,即箭在每一瞬間都是靜止的,又怎可能動呢?

數學——打破吊詭的武器
當然我們完全明白「飛矢不動」是一個歪論,但數學是一個講究嚴謹的學科,數學家們要從問題的核心「動」作為開始,要證明「飛矢必動」。所謂動是指有速率,而速率便是所走的路程和所用的時間的比,換句話說,要證明箭在每一瞬間都是動即,要證明箭在每一瞬間都有速率,但這是一個難題,因為如何找出每一瞬間的速率呢?

無堅不摧──微積分
要解決每一瞬間的速率(以下稱瞬時速度)的問題,偉大的數學家和物理學家──牛頓Newton),發現了一件無堅不摧的武器──微積分,其中微分便正好可以計算出物體的瞬時速度。這個發現震驚了整個數學界和物理學界,而且除了瞬時速度,微積分更在不同方面有廣泛的應用,並得到了瞬速的發展。不過,好境不常…

既不是零又不是非零?
因為微積分必須要考慮所謂「無窮小量」的問題,所謂「無窮小量」是指一個「非零而又極接近零的量」,而所謂「極接近零」是指這個量「與零之間不容許有任何空間和距離」,換句話說,「無窮小量」是一個既不是零又不是非零的量,那麼,「無窮小量」是零嗎?如果解不到這個問題,所謂無堅不摧的微積分,便無立足之地,一切由微積分所得出來的完美的數學和物理學上的結果也付諸流水,所以數學史上稱之為「第二次數學危機」。

化危為機
數學是講究嚴謹的學科,數學家必不逃避問題,面對困難,接受挑戰,是數學家的不朽格言。另一位偉大的數學家柯西Cauchy),重新建立微積分學的基礎──數學分析。數學分析是透過一套嚴格的「數學語言──ε-語言」來說明甚麼是變量、無窮小和極限等的概念和定義,解決了甚麼是既不是零又不是非零的問題,而這次的危機亦安然渡過,並為數學的大家庭增添了一位成員「數學分析」,也提醒了數學家們要繼續要求嚴格,不可鬆懈。

不過,第三次數學危機將要置數學於死地!