歷史背景 畢達哥拉斯(約公元前580年─公元前300年)是一位古希臘的數學家及哲學家,他曾有一句名言「凡物皆數」,意思是萬物的本原是數,數的規律統治萬物。不過要注意的是,在那個年代,他們相信一切數字皆可以表達為整數或整數之比──分數,簡單而言,他們所認識的只是「有理數」。
有趣的有理數 當時的人只有「有理數」的觀念是絕不奇怪的。對於整數,在數線上我們可以知道是一點點分散的,而且點與點之間的距離是一,那就是說,整數不能完全填滿整條數線,但有理數則不同了,我們發現任何兩個有理數之間,必定有另一個有理數存在,例如:1與2之間有1/2,1與1/2之間有1/4等,因此令人很容易以為「有理數」可以完全填滿整條數線,「有理數」就是等於一切數,可惜這個想法是錯的,因為……
畢氏定理、畢氏鐵拳 偉大的時刻來臨了,畢達哥拉斯發現了現時眾所周知的畢氏定理(其實中國於公元前一千一百年已有此定理),從這個定理中,畢達哥拉斯發現了一件不可思議的事,就是腰長為1的等腰直角三角形的斜邊長度,竟然是一個無法寫成為有理數的數。亦即是說有理數並非一切數,存在有理數以外的數,有理數不可以完全填滿整條數線,他們心中的信念完完全全被破壞了,他們所恃和所自豪的信念完全被粉碎。在當時的數學界來說,是一個極大的震撼,也是歷史上的「第一次數學危機」。
新的一頁 原來「第一次數學危機」是「無理數」的發現,不過它還說出了「有理數」的不完備性,亦即有理數不可以完全填滿整條數線,在有理數之間還有「罅隙」,無疑這些都是可被證明的事實,是不能否定的。面對著事實,數學家展開廣闊的胸襟,把「無理數」引入數學的大家庭,令數學更豐富更完備,加添了無理數,數線終於被填滿了。
不過,第二次數學危機又將要來臨了!
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