九章算術

《九章算術》卷四──少廣
	少廣術曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘諸分子及全步，各以其母除其子，置之於左。命通分者，又以分母遍乘諸分子，及已通者皆通而同之，并之為法。置所求步數，以全步積分乘之為實。實如法而一，得從步。
〔一〕	今有田廣一步半。求田一畝，問從幾何？
	答曰：一百六十步。
	術曰：下有半，是二分之一。以一為二，半為一，并之得三，為法。置田二百四十步，亦以一為二乘之，為實。實如法得從步。
〔二〕	今有田廣一步半、三分步之一。求田一畝，問從幾何？
	答曰：一百三十步、一十一分步之一十。
	術曰：下有三分，以一為六，半為三，三分之一為二，并之得一十一為法。置田二百四十步，亦以一為六乘之，為實。實如法得從步。
〔三〕	今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一。求田一畝，問從幾何？
	答曰：一百一十五步、五分步之一。
	術曰：下有四分，以一為一十二，半為六，三分之一為四，四分之一為三，并之得二十五，以為法。置田二百四十步，亦以一為一十二乘之，為實。實如法而一，得從步。
〔四〕	今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一畝，問從幾何？
	答曰：一百五步、一百三十七分步之一十五。
	術曰：下有五分，以一為六十，半為三十，三分之一為二十，四分之一為一十五，五分之一為一十二，并之得一百三十七，以為法。置田二百四十步，亦以一為六十乘之，為實。實如法得從步。
〔五〕	今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一畝，問從幾何？
	答曰：九十七步、四十九分步之四十七。
	術曰：下有六分，以一為一百二十，半為六十，三分之一為四十，四分之一為三十，五分之一為二十四，六分之一為二十，并之得二百九十四以為法。置田二百四十步，亦以一為一百二十乘之，為實。實如法得從步。
〔六〕	今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一畝，問從幾何？
	答曰：九十二步、一百二十一分步之六十八。
	術曰：下有七分，以一為四百二十，半為二百一十，三分之一為一百四十，四分之一為一百五，五分之一為八十四，六分之一為七十，七分之一為六十，并之得一千八十九，以為法。置田二百四十步，亦以一為四百二十乘之，為實。實如法得從步。
〔七〕	今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一畝，問從幾何？
	答曰：八十八步、七百六十一分步之二百三十二。
	術曰：下有八分，以一為八百四十，半為四百二十，三分之一為二百八十，四分之一為二百一十，五分之一為一百六十八，六分之一為一百四十，七分之一為一百二十，八分之一為一百五，并之得二千二百八十三，以為法。置田二百四十步，亦以一為八百四十乘之，為實。實如法得從步。
〔八〕	今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一畝，問從幾何？
	答曰：八十四步、七千一百二十九分步之五千九百六十四。
	術曰：下有九分，以一為二千五百二十，半為一千二百六十，三分之一為八百四十，四分之一為六百三十，五分之一為五百四，六分之一為四百二十，七分之一為三百六十，八分之一為三百一十五，九分之一為二百八十，并之得七千一百二十九，以為法。置田二百四十步，亦以一為二千五百二十乘之，為實。實如法得從步。
〔九〕	今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一畝，問從幾何？
	答曰：八十一步、七千三百八十一分步之六千九百三十九。
	術曰：下有一十分，以一為二千五百二十，半為一千二百六十，三分之一為八百四十，四分之一為六百三十，五分之一為五百四，六分之一為四百二十，七分之一為三百六十，八分之一為三百一十五，九分之一為二百八十，十分之一為二百五十二，并之得七千三百八十一，以為法。置田二百四十步，亦以一為二千五百二十乘之，為實。實如法得從步。
〔一○〕	今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一畝，問從幾何？
	答曰：七十九步、八萬三千七百一十一分步之三萬九千六百三十一。
	術曰：下有一十一分，以一為二萬七千七百二十，半為一萬三千八百六十，三分之一為九千二百四十，四分之一為六千九百三十，五分之一為五千五百四十四，六分之一為四千六百二十，七分之一為三千九百六十，八分之一為三千四百六十五，九分之一為三千八十，一十分之一為二千七百七十二，一十一分之一為二千五百二十，并之得八萬三千七百一十一，以為法。置田二百四十步，亦以一為二萬七千七百二十乘之，為實。實如法得從步。
〔一一〕	今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一畝，問從幾何？
	答曰：七十七步、八萬六千二十一分步之二萬九千一百八十三。
	術曰：下有一十二分，以一為八萬三千一百六十，半為四萬一千五百八十，三分之一為二萬七千七百二十，四分之一為二萬七百九十，五分之一為一萬六千六百三十二，六分之一為一萬三千八百六十，七分之一為一萬一千八百八十，八分之一為一萬三百九十五，九分之一為九千二百四十，一十分之一為八千三百一十六，十一分之一為七千五百六十，十二分之一為六千九百三十，并之得二十五萬八千六十三，以為法。置田二百四十步，亦以一為八萬三千一百六十乘之，為實。實如法得從步。
〔一二〕	今有積五萬五千二百二十五步。問為方幾何？
	答曰：二百三十五步。
〔一三〕	又有積二萬五千二百八十一步。問為方幾何？
	答曰：一百五十九步。
〔一四〕	又有積七萬一千八百二十四步。問為方幾何？
	答曰：二百六十八步。
〔一五〕	又有積五十六萬四千七百五十二步、四分步之一。問為方幾何？
	答曰：七百五十一步半。
〔一六〕	又有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步。問為方幾何？
	答曰：六萬三千二十五步。
	開方術曰：置積為實。借一算步之，超一等。議所得，以一乘所借一算為法，而以除。除已，倍法為定法。其復除。折法而下。復置借算步之如初，以復議一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副從定法。復除折下如前。若開之不盡者為不可開，當以面命之。若實有分者，通分內子為定實。乃開之，訖，開其母報除。若母不可開者，又以母乘定實，乃開之，訖，令如母而一。
〔一七〕	今有積一千五百一十八步、四分步之三。問為圓周幾何？
	答曰：一百三十五步。
〔一八〕	今有積三百步。問為圓周幾何？
	答曰：六十步。
	開圓術曰：置積步數，以十二乘之，以開方除之，即得周。
〔一九〕	今有積一百八十六萬八百六十七尺。問為立方幾何？
	答曰：一百二十三尺。
〔二○〕	今有積一千九百五十三尺、八分尺之一。問為立方幾何？
	答曰：一十二尺半。
〔二一〕	今有積六萬三千四百一尺、五百一十二分尺之四百四十七。問為立方幾何？
	答曰：三十九尺、八分尺之七。
〔二二〕	又有積一百九十三萬七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。問為立方幾何？
	答曰：一百二十四尺、太半尺。
	開立方術曰：置積為實。借一算步之，超二等。議所得，以再乘所借一算為法，而除之。除已，三之為定法。復除，折而下。以三乘所得數置中行。復借一算置下行。步之，中超一，下超二等。復置議，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中從定法。復除，折下如前。開之不盡者，亦為不可開。若積有分者，通分內子為定實。定實乃開之，訖，開其母以報除。若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之。訖，令如母而一。
〔二三〕	今有積四千五百尺。問為立圓徑幾何？
	答曰：二十尺。
〔二四〕	又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問為立圓徑幾何？
	答曰：一萬四千三百尺。
	開立圓術曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即丸徑。

參考：《九章算術》及《九章算術》內容簡介

以上資料摘自：
1.	李儼、杜石然著，《中國古代數學簡史》，九章出版社，台灣，1992。
2.	李繼閔著，《〈九章算術〉及其劉徽注研究》，九章出版社，台灣，1992。
3.	李繼閔著，《九章算術校証》，陝西科學技術出版社，陝西，1993。