費馬最後定理
 

費馬

  一個延綿三百多年的猜想,一個未經證明而被稱為定理的猜想,一個使無數的數學家花盡心思去證明的猜想,一個為數學界帶來無窮得益的猜想──費馬最後定理──終於在1995年正式由當代的數學家懷爾斯(Andrew Wiles)所解決,也為這個多年來令數學家束手無策的問題劃上句號。

  一切也應由人所皆知的畢氏定理開始。二千多年前,古希臘數學家畢達哥拉斯發現對於任意一個直角三角形的兩條鄰邊的平方和等於斜邊的平方,即x2+y2=z2,當中x及y是鄰邊長度,而z是斜邊的長度,這條定理相信有初中程度的學生也會知道,而當中我們發現有一些直角三角形的三條邊的長度都可以是整數,如(3,4,5)和(5,12,13)等,我們稱這些數組為「畢氏三元數」,而畢氏三元數也就是費馬最後定理的起源。

  十七世紀的數學家費馬Pierre de Fermat) 對數學作出了多方面的貢獻,其中他對數論的興趣特別濃厚。在他珍藏的古籍拉丁譯本中,有一本由希臘數學家丟番圖(Diophantus)所著的名為《算術》(Diophanti Alexandrini Arithmeticorum Libri Sex)的書,他大約在1637年以拉丁文在這本書中的畢氏定理論證附近寫下了:

「另一方面,一個數字的立方不可能表示成兩個立方數的和,一個四次方數也不能表示成兩個四次方數的和;或者更概括地說,除了平方之外,一個n次方數不能表示成兩個n次方數的和(xn+yn=zn)。我己經為這個命題找到了一個非常美妙的證明,然而這裡的篇幅不足以讓我寫下這個證明。」

這就是有名的「頁邊筆記」。因為費馬所宣稱己證明的定理多數也可被證明,所以這篇筆記的內容也被受重視,尤其是他所說的「非常美妙的證明」更是耐人尋味。在十九世紀的初葉,所有其他由費馬所說的定理都一一被證明或否證,只剩下這個看似簡單的躑z,依然沒有定案,也因此被冠以「費馬最後定理」或「費馬大定理」之名。

  三百多年來,有成千上萬的數學家也曾經嘗試過證明或否證費馬最後定理,不過大多數的證據都顯示它是正確的。一些大數學家如:歐拉Leonhard Euler)、高斯Carl Fredrick Gauss)、萊布尼茨Gettfried Wilhelm Leibniz)等也嘗試過證明,不過他也只限於對某幾個數字,甚至連費馬本人也用他的無窮下降法證明了當n=4時,費馬最後定理是正確的,直至十九世紀,庫默爾(Ernst Eduard Kummer)證明了當n<100時,費馬最後定理是正確。到二十世紀,數學家已經把n的數值推至四千一百萬了,不過總是觸不到問題的核心──對所有的整數n>2也是正確!一直到1983年伏爾廷斯(Gerd Faltings)證明了對於n>3,不定方程xn+yn=zn最多只有有限多的整數解,可算是一大突破。

懷爾斯

  1993年,一位自小便對費馬最後定理有興趣的數學家懷爾斯,他以七年的苦心耕耘,攻克了一直被視為不可證明的破解費馬最後定理的鑰匙──谷山─志村猜想,並在6月於他的母校劍橋大學的牛頓爵士數學科學研究中心內發表他的研究成果,同時也宣布為費馬最後定理劃上句號。可惜,劃上的不是句號而只是休止符,在同年的八月懷爾斯的證明被發現在致命的漏洞,因而令懷爾斯傷心地返回奮鬥了七年的書房。一年後,正當懷爾斯想放棄之時,他看著眼前的論文,努力思考了將近二十分鐘,竟然發現了自己的錯誤的原因,並且明白了如何解決,正如他自己形容:

「那是我工作生命中最重要的一刻。突然,出乎意料地,我彷彿窺得了天機。再沒有其他事能如此難以形容的美麗,它是那樣簡單而精巧,我只能不可置信地望著……」

終於在1995年出版的《數學年鑑》中,懷爾斯的論文通過了嚴格的審查,向全世界發表了,也是正正式式的為費馬最後定理劃上句號。

  費馬最後定理是一個很簡單易明的命題,在這三百多年間引起了不少的討論,曾經有富翁願意出十萬馬克徵求解決方法。當然,費馬最後定理的價值不可以十萬馬克來衡量,它促進了數學的發展,在研究它的過程之中,不少新的數學分支和新的工具被發明和推廣(如:代數數論),有些更獨當一面成為專門的學科,為數學增加不少活力,這也是一個問題所以為一個好問題的因素。至於,費馬在「頁邊筆記」所寫的那個「非常美妙的證明」是怎樣的,將成為費馬最後定理所遺下的最後一個謎!




參考書目:
1. 阿米爾.艾克塞爾,《費馬最後定理》,時報文化出版企業股份有限公司,台灣,1998。
2. 姚玉強編,《費馬猜想》,九章出版社,台灣,1993。