雖然肯普的證明有錯，但仍有價值，因為在他的證明中包含了引導到正確證明的絕大部分基本概念，其中的思考路線可用來得到新的成果，當中較明顯的是可以得出「五色定理」的證明。

　　希伍德畢生研究四色猜想，雖然最後也解決不到，但他在這方面的貢獻亦不少，當中包括了「五色定理」或稱「希伍德定理」、有限制下的四色著色情況，以及更重要的一般閉曲面著色問題。

　　「五色定理」是四色猜想的減弱命題，而難度方面也就天淵之別。要證明「五色定理」只須要初等拓撲方法便可，主要使用「歐拉定理」及「約當曲線定理」，而證明方法亦不難明白。

　　而在1898年希伍德證明了，如果地圖上每個區域的邊的數目都是3的倍數時，那麼這個地圖便是可以四色著色了。

　　至於一般閉曲面的著色問題，希伍德先證明了同胚（homeomorphic）於環面（torus）的閉曲面的地圖，即只有一個「洞」的閉曲面地圖，最多只需要七種顏色著色。及後他推測著色的顏色數目與閉曲面的洞的數目有關，並有以下的關係：

其中p是閉曲面的洞的數目、Sqrt(x)是x的平方根，而顏色的數目便是M_p的整數部分。特別地，如果p=1便是環面，M_p=7；而p=0便是球面，M_p=4。後來在1974年數學家林格爾對希伍德的推測在p>0的情況作了完整的證明，也就是說，還沒有證出四色猜想。

　　肯普曾證明每一張正規地圖中至少有一個具有兩個、三個、四個或五個鄰國，不存在每個國家多於五個鄰國的平面正規地圖，換句話說，由兩個、三個、四個及五個鄰國組成的一組構形是不可避免的，亦即每張正規地圖至少必須含有這四種構形中的一個。另一方面，肯普也引入了所謂可約構形，即如果構形是不可能出現在極小五色圖中，這個構形便稱為可約構形。以上的兩個概便成為日後解決四色猜想的基石。因為從這兩點，數學家便意識到，只要求出世上所有可約構形的不可避免組，那麼四色猜想也就證明了。但數學家亦發現要證明大的構形可約，是需要檢查大量的細節，似乎只有借助電腦的幫助方可完成。